Mathématiques trigoniques



"Par celui qui a révélé à nos têtes la Tetraktys qui est source et racine de la nature inépuisable." (Pythagore)
1996-2014, Mathias Daval
mise à jour le 4 juillet 2014



1. Le mode opératoire

Soit n un nombre entier positif (n ∈ N*).

  • Dans une première étape, calculons le trigon de n, appelé T(n), d'après la formule de la Tétraktys de Pythagore. T(n) est aussi appelée par certains auteurs somme théosophique. Il s'agit de la somme de tous les entiers de 1 à n :

    T(n) = n(n+1) / 2

  • Dans une deuxième étape, appelons T'(n) la réduction ou synthèse de T(n), par modulo 999, selon l'exemple suivant :
    T(n) = 1540 => T'(n) = 1 + 540 = 541
    T(n) = 150426 => T'(n) = 150 + 426 = 576
    T(n) = 1999000 => T'(n) = 1 + 000 + 999 = 1000 = > 1 + 000 = 1.

    La formule complète de notre mode opératoire est donc la suivante :

    T'(n) = MOD (n(n+1) / 2, 999)

  • Répétons les étapes 1 et 2, en calculant T(T'(n)), T'(T(T'(n))), et ainsi de suite.

    Le script de calcul situé dans le menu flottant à droite permet de générer le trigon et les suites trigoniques d'un nombre entier quelconque. Il indique également le nombre de cycles maximum en fonction du modulo.

    Un autre petit script permet de calculer si la racine trigonique de n'importe quel nombre entier existe (il vérifie si la formule T(n) = n(n+1) / 2 s'applique à ce nombre).

     

    2. Les observations

    Que constate-t-on ? La suite de nombres ainsi obtenus par "trigonisation/réduction" n'est pas illimitée. Tous les nombres s'inscrivent dans des cycles.

    Par exemple, calculons la suite trigonique de 2 :

    1. 6
    2. 21
    3. 231
    4. 26796
    5. 822
    6. 338253
    7. 591
    8. 174936
    9. 111
    10. 6216
    11. 222
    12. 24753
    13. 777
    14. 302253
    15. 555
    16. 154290
    17. 444
    18. 98790
    19. 888
    20. 394716
    21. 111

    La boucle est bouclée.

    Il existe 8 cycles différents, ou 7+1 cycles (en mettant le nombre 1 à part), que nous désignerons par convention :
    1, 75, 111, 297, 333, 630, 703, 999,
    d'après les nombres inférieurs qui les composent (voir plus loin).

    -> Voir un script de calcul automatique des occurrences de cycles.

    Tous les cycles existent déjà pour 1<n<38, à l'exception de 297 qui n'est valable que pour n>=297.

    Se distinguent trois cycles principaux : 111, 333 et 703. Ils contiennent en effet 89 % des nombres de 1 à 100 :
    111 = 42
    703 = 33
    333 = 14
    999 = 6
    75 = 2
    630 = 2
    1 = 1

    Voici la répartition complète pour les nombres de 1 à 1 000, qui montre l'apparition du cycle, 297 :
    111 = 420
    703 = 315
    333 = 140
    999 = 70
    75 = 24
    1 = 19
    630 = 8
    297 = 4

    Répartition des nombres de 1 à 100 000 :
    111 = 4204
    703 = 3153
    333 = 1402
    999 = 700
    75 = 240
    1 = 181
    630 = 80
    297 = 40

    4 des cycles peuvent être qualifiés de "directs" en ce sens qu'ils ne sont composés que d'un seul nombre : c'est le cas de 1, 297, 703, 999. Exemple :
    T(31) = 496
    T'(496) = 379
    T'(379) = 82
    T'(82) = 406
    T'(406) = 703
    T'(703) = 703

    Nombres contenus par les autres cycles :
  • 111, 222, 777, 555, 444, 888
  • 75, 852, 741
  • 333, 666
  • 630, 963

  • 3. Conséquences & conclusions

    Quelques conséquences du mode opératoire :

    1 <= T'(n) <= 999
    et
    T'(n) = T'(998-n)

    => Les nombres n compris entre 0 et 499 contiennent toutes les séries ;


    Le couple le plus grand est (10, 6) pour les nombres entre 1 et 499.


    Si a est le modulo, le nombre de cycles est égale au produit des puissances +1 des diviseurs de a dans la décomposition canonique de a en puissance de nombres premiers.
    Par exemple pour a = 100 => 100 = 2*2*5*5 = 2^2*5^2 => nombre de cycles = (2+1)*(2+1) = 9

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    Merci aux différents intervenants du forum Futura Sciences pour leurs apports précieux.
    > Voir le fil de discussion


    Merci à Biba pour les explications, le décodage final et le script permettant de calculer les cycles.

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    Annexes :

    - Un article généraliste sur la spéculation en sciences et en arithmétique en particulier.
    - Pour plus d'informations en français et en anglais sur la Tétraktys pythagoricienne.
    - A consulter pour voir une des applications ésotériques de la Tétraktys : Introduction à une théorie des nombres bibliques, par Raymond Abellio (Gallimard). "La première question soulevée par une réelle légitimation de notre mode opératoire (...) La réponse devait être trouvée en ceci, qui découle d'un théorème classique de l'arithmétique, que la somme des nombres obtenus en découpant un nombre donné à partir de la droite en tranches de trois chiffres est égale au reste de la division de ce nombre par 999." (R. Abellio, Introduction à une théorie des nombres bibliques, p. 429)

    - Exécutable trigon.exe qui permet de calculer les suites trigoniques (merci à Fabien pour la programmation en C).
    -Tableau d'équivalence de quelques formules trigoniques pour les 144 premiers nombres.



    Discussions


  • Calcul du cycle trigonique d'un entier n


    Diviseur:
    Nombre de cycles :


    1996-2015, Mathias Daval